Теория баз данных

       

Теоретико-множественные операции реляционной алгебры


Объединением двух отношении называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.

Пусть заданы два отношения R1 = { r1 } , R2 = { r2 }. где r1 и r2 — соответственно кортежи отношений R1 и R2, то объединение

R1

R2 = { г | г
R1
r
R2 }. Здесь r — кортеж нового отношения,
— операция логического сложения «ИЛИ».

Пример применения операции объединения приведен па рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R1 и R2, которые содержат перечни деталей. изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R3 содержит общин перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

R1

Шифр детали

Название детали

00011073



Гаика Ml

00011075

Гайка М2

00011076

Гаика M3

00011003

Болт Ml

00011006

Болт МЗ

00013063

Шайба Ml

00013066

Шайба МЗ

R2

Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка М1

00011076

Гайка М3

00011077

Гайка М4

00011004

Гайка М2

00011006

Гайка М3

R3


Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка Ml

00011075

Гайка М2

00011076

Гайка МЗ

00011003

Болт Ml

00011006

Болт МЗ

00013063

Шайба Ml

00013066

Шайба МЗ

00011077

Гайка М4

00011004

Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:

R3 = R1

R2={ г | r
R1 ^ г
R2 }, здесь ^ — операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4


Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка Ml

00011076

Гайка МЗ

00011006

Болт МЗ

Разностью отношений R1 и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:



R5 = RI \ R2 = { г | r

R1 ^ r
R2 }

Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение RG содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R6 = R2 \ R1 = { r | r
R2 ^ r
R1 }

R5



Шифр детали

Название детали

00011075

Гайка М2

00011003

Болт Ml

00013063

Шайба Ml

00013066

Шайба МЗ

R6



Шифр детали

Название детали

00011077

Гайка М4

00011004

Болт М2

R3

Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка Ml

00011075

Гайка М2

00011076

Гайка МЗ

00011003

Болт Ml

00011006

Болт МЗ

00013063

Шайба Ml

00013066

Шайба МЗ

00011077

Гайка М4

00011004

Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:

R3 = R1
R2 ={ r | r
R1 ^ r
R2 }

здесь ^— операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4

Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка M1

00011076

Гайка МЗ

00011006

Болт МЗ

Разностью отношений R, и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:

R5 = R1 \ R2 = { r | r
R1 ^ г
R2 }

Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R6 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R6 = R2 \ R1 = { r | r
R2 ^ r
R1 }

R5

Шифр детали

Название детали

00011075

Гайка М2

00011003

Бол г M1

00013063

Шайба M1

00013066

Шайба МЗ

R6

Шифр детали

Название детали

00011077

Гайка М4

00011004

Болт М2

Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R5 и R6.



В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R1 R2 и R3. Все они имеют эквивалентные схемы.

  • R1= (ФИО, Паспорт, Школа);

  • R2= (ФИО, Паспорт, Школа);

  • R3= (ФИО, Паспорт, Школа).

    Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R1 содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение, R2 содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R3 содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

    Ответим на следующие вопросы:

  • Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз. R = R1
    R2 \ R3

  • Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз. R = (R1 \ R2
    R3 )
    (R2 \ R1
    R3)

  • Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.

    Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R1 и R2, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R3, потому что они поступили.


    R = R1
    R2
    R3

  • Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.

    Это прежде всего те абитуриенты; которые присутствуют в R1 и не присутствуют в R2, и те, кто присутствуют в R2 и не присутствуют в R1. И разумеется, никто из них не присутствует в R3. R = (R1 \ R2)
    (R2 \ R1) \ R3

    В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R3.

    Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

    Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R1 ® R2, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

    Сцеплением, пли конкатенацией, кортежей с = <c1, с2, ..., сn> и q = <q1, q2, ..., qm> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с , q).

    (с, q) = <с1 с2, ... , сn, q1, q2, .... qm>

    Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

    Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

    Расширенным декартовым произведением отношения R, степени n со схемой

    SR1=(А1,А2...,Аn) и отношения R2 степени m со схемой

    SR2=(В1,В2, ... , Вm) называется отношение R3 степени n+m со схемой

    SR3 = (А1, А2, ... , Аn, В1, В2, ..., Вm),

    содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа г отношения R] с каждым кортежем q отношения R2.



    То есть если R1 = { r }, R2 = { q }

    R1
    R2 = {(r, q) | r
    R1 ^ q
    R2}

    Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума — т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении 07 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении 08 дан перечень всех цехов.

    R7



    Шифр детали

    Название детали

    00011073

    Гайка M1

    00011075

    Гайка М2

    00011076

    Гайка МЗ

    00011003

    Болт М1

    00011006

    Болт МЗ

    00013063

    Шайба Ml

    00013066

    Шайба МЗ

    00011077

    Гайка М4

    000ll004

    Болт М2

    00011005

    Болт М5

    00011006

    Болт М6

    00013062

    Шайба М2

    R8

    Цех

    Цех 1

    Цех 2

    Цех 3

    Тогда отношение R9, которое соответствует ситуации, когда каждый цех изготавливает все требуемые детали, будет выглядеть следующим образом:

    R9
    Шифр детали

    Название детали

    Цех

    00011073

    Гайка Ml

    Цех 1

    00011075

    Гайка М2

    Цех 1

    00011076

    Гайка МЗ

    Цех 1

    00011003

    Болт Ml

    Цех 1

    00011006

    Болт МЗ

    Цех 1

    00013063

    Шайба Ml

    Цех 1

    00013066

    Шайба МЗ

    Цех 1

    00011077

    Гайка М4

    Цех 1

    00011004

    Болт М2

    Цех 1

    00011005

    Болт М5

    Цех 1

    00011006

    Болт Мб

    Цех 1

    00013062

    Шайба М2

    Цех 1

    00011073

    Гайка Ml

    Цех 2

    00011075

    Ганка М2

    Цех 2

    R10
    Шифр

    Название детали

    Цех

    00011073

    Гайка Ml

    Цех 1

    (МО И 075 000 11 076

    Гайка М2 Гайка МЗ

    Цех 1 Цех 1

    000 11 003

    ! Болт Ml

    Цех 1

    0011 0006

    Болт МЗ

    Цех 1

    00013063

    Шайба Ml

    Цех 1

    000 11060

    Шайба МЗ

    Цех 1

    000 11 004

    Болт М2

    Цех 1
    00011077 Гайка М4 Цех 1
    00011006

    Болт МЗ

    Цех2

    00013063

    Шайба Ml

    Цех 2

    0013066 Шайба МЗ Цех 2
    00011077 Гайка М4 Цех 2
    0001 0778 Болт М2 Цех 2
    <


    /p>
    00011076

    Гайка МЗ

    Цех 2

    00011U03

    Болт Ml

    Цех 2

    00011006

    Болт МЗ

    Цех 2

    00013063

    Шайба Ml

    Цех 2

    00013066

    Шайба МЗ

    Цех 2

    00011077

    Гайка М4

    Цех 2

    00011004

    Болт М'2

    Цех 2

    00011005

    Болт М5

    Цех 2

    00011006

    Болт Мб

    Цех 2

    00013062

    Шайба М2

    Цех 2

    00011073

    Гайка Ml

    ЦсхЗ

    00011075

    Гайка М2

    ЦехЗ

    00011076

    Гайка МЗ

    Цех 3

    00011003

    Болт Ml

    ЦехЗ

    00011006

    Болт МЗ

    ЦехЗ

    00013063

    Шайба Ml

    Цех 3

    00013066

    Шайба МЗ

    ЦехЗ

    00011077

    Гайка М4

    ЦехЗ

    00011004

    Болт М2

    Цех 3

    00011005

    Болт М5

    ЦехЗ

    00011006

    Болт Мб

    ЦехЗ

    00013062

    Шайба М2

    ЦехЗ

    00011006

    Болт Мб

    Цех 2

    00013062

    Шайба М2

    Цех 2

    00011073

    Гайка Ml

    ЦeхЗ

    00011075

    Гайка М2

    ЦехЗ

    00011076

    Гайка МЗ

    ЦехЗ

    00011003

    Болт Ml

    ЦехЗ

    00011006

    Болт МЗ

    Цех 3

    00013063

    Шайба Ml

    Цех 3

    00013066

    Шайба МЗ

    ЦехЗ

    00011077

    Гайка М4

    Цeх3

    00011005

    Болт М5

    Цех3

    00011006

    Болт Мб

    Цех3

    00011005

    Болт М5

    Цех 1

    00011006

    Болт Мб

    Цех 1

    00013062

    Шайба М2

    Цех1

    В каких запросах нужно использовать расширенное декартово произведение? Эта операция моделирует некоторую ситуацию, которая характеризуется словом «все». Поэтому если нам надо узнать, какие детали в каких цехах из общей обязательной номенклатуры не выпускаются, то мы можем вычесть из полученного отношения R9 отношение R10, характеризующее реальный выпуск деталей в каждом цехе.

    Отношение R11, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:

    R11 = R9 \ R10

    R11

    Шифр детали

    Название детали

    Цех

    00011073

    Гайка Ml

    Цех 2

    00011075 Гайка М2 Цех 2
    00011076

    Гайка МЗ

    Цех 2

    00011004

    Болт М2

    ЦехЗ

    00013062

    Шайба М2

    ЦехЗ

    00011003

    Болт Ml

    Цех 2

    00011005

    Болт М5

    ЦехЗ

    Группа теоретико-множественных операций избыточна, так, например, операцию можно заменить сочетанием операций объединения и пересечения.

    (R1
    R2) \ (R1 \ R2) \ (R2 \ R1)

    Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.

    Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.


    Содержание раздела